Konvexiteten

Konvexiteten är ett centralt begrepp inom geometri, analys och optimering som beskriver hur former eller funktioner saknar inbuktningar. En mängd S i ett vektorrum är konvex om varje linjesegment mellan två punkter i S helt ligger i S. Med andra ord gäller att för alla x och y i S samt alla t i intervallet [0,1] har man t x + (1−t) y i S. Denna egenskap innebär att man inte kan gå utanför mängden genom att kombinera två av dess punkter.

För en funktion f definierad på en konvex mängd gäller konvexitet om f(tx + (1−t) y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y) för alla x, y i domänen och t i [0,1]. Grafen av en konvex funktion ligger således under eller på varje linje mellan två punkter på grafen. Strikt konvexitet innebär att olikheten är strikt för olika x ≠ y.

Viktiga konsekvenser och samband inkluderar att undernivåmängderna {x | f(x) ≤ α} är konvexa; och att f psykologiskt uppfyller en form av medelvärdes-inekvationer. En vanlig följd är att f(∑ w_i x_i) ≤ ∑ w_i f(x_i) när vikterna w_i är non-negativa och summerar till 1. Inom konvex optimering innebär konvexitet att minimisering av en konvex funktion över en konvex mängd har välbetecknade egenskaper: lokala minimala punkter är globala, vilket underlättar algoritmiska metoder. Vanliga exempel på konvexa funktioner är kvadratiska funktioner och normer. Konvexitet används brett inom ekonomi, maskininlärning och beslutsteori.