Kontrolloitavuusmatriisi

Kontrolloitavuusmatriisi on lineaarisen tilanmallin kontrolloitavuuden arviointiin käytetty matriisi. Oletetaan jatkuva-aikainen järjestelmä x' = Ax + Bu tai diskreetti järjestelmä x_{k+1} = Ax_k + Bu_k, jossa A on n×n ja B on n×m. Kontrolloitavuusmatriisi K muodostetaan seuraavasti: K = [B AB A^2B ... A^{n-1}B], ja sen kokoonpano on n × (n m).

Järjestelmä on kontrolloitavissa (täysin kontrolloitavissa), jos ja vain if rank(K) = n, eli Kalmanin kontrollikriteeri toteutuu. Tämä tarkoittaa, että tilaa voidaan ohjata haluttuun lopputilaan syötteillä, ja kaikki tilapisteet ovat saavutettavissa rajatussa ajassa. Mikäli rank(K) < n, järjestelmä ei ole täysin kontrolloitavissa; tällöin on olemassa kontrolloitettava ala- sekä kontrolloimaton osajärjestelmä, eikä kaikkia tiloja voi muuttaa halutuiksi.

Kontrolloitavuusmatriisia käytetään erityisesti tilankäyttäytymisen analysoinnin lisäksi suunnittelussa ja Kalmanin dekohinnoissa, joissa eriytetään kontrolloitava ja kontrolloimaton osa järjestelmästä. Se liittyy läheisesti myös observoitavuuden käsitteeseen sekä Kalmanin dekoodiin, jossa järjestelmä voidaan muuntaa sekä kontrolloitavaksi että observoitavaksi sopivissa koordinaatistomuunnoksissa.

Esimerkki: Oli A = [[0, 1], [-2, -3]] ja B = [[0], [1]]. Tällöin AB = A·B = [[1], [-3]], ja kontrolloitavuusmatriisi on K = [B AB] = [[0, 1], [1, -3]]. Det eka lasketulla determinantistaan rank(K) = 2, joten järjestelmä on kontrolloitavissa.