Kongruenzregeln

Kongruenzregeln bezeichnen die Regeln, die bei der Arbeit mit Kongruenzen modulo einer festen Zahl gelten. Eine Gleichung der Form A ≡ B (mod n) bedeutet, dass n die Differenz A−B teilt. Kongruenzregeln ermöglichen algebraische Manipulationen mit solchen Ausdrücken, ohne dass man A oder B in voller Größe kennen muss. Die Kongruenzrelation modulo n ist eine Äquivalenzrelation und teilt die ganzen Zahlen in Restklassen von 0 bis n−1.

Zu den grundlegenden Regeln gehören Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren. Wenn A ≡ B (mod n) und C ≡ D (mod n) gilt, dann gilt auch A+C ≡ B+D (mod n) und A−C ≡ B−D (mod n). Ebenso führt die Multiplikation: AC ≡ BD (mod n). Aus A ≡ B (mod n) folgt auch A ± C ≡ B ± C (mod n) und, falls C ≡ C (mod n), AC ≡ BC (mod n). Eine häufig verwendete Spezialform ist: Wenn A ≡ B (mod n) und C ≡ D (mod n), dann kann man in vielen Fällen Terme durch andere ersetzen, solange die Gleichheit modulo n erhalten bleibt.

In Bezug auf Potenzen gilt: Wenn A ≡ B (mod n), dann gilt A^k ≡ B^k (mod n) für jedes positive Exponent k. Division oder Cancelling ist möglich, wenn der Divisor invertierbar modulo n ist, das heißt, gcd(C, n) = 1. Dann existiert ein multiplikatives Inverses von C modulo n, und aus AC ≡ BC (mod n) folgt A ≡ B (mod n).

Restklassen und Reduction: Jedes Integer ist modulo n äquivalent zu einem Rest r mit 0 ≤ r < n. Kongruenzregeln finden Anwendung beim Lösen von Gleichungen und Systemen von Kongruenzen, beim Einsatz von Methoden wie dem Chinesischen Remainder Satz und in Bereichen wie Kryptografie und Zahlentheorie.