Komponenttijakauma

Komponenttijakauma on tilastollisessa sekoitusmallinnuksessa käytetty termi, jolla tarkoitetaan yksittäisen komponentin tiheys- tai massajakaumaa. Sekoitusmallissa dataa oletetaan tuotettavan valitsemalla ensin komponentti k suuren todennäköisyyden perusteella ja sen jälkeen näytteenotolla kyseisen komponentin jakaumasta. Komponenttijakaumat muodostavat yhdessä sekoitusjakauman perusta, jonka kokonaisjakauma on näiden komponenttien painotettu summa.

Matemaattisesti, jos X on havaittava satunnaismuuttuja, se voidaan kuvata sekoitusmallina X ~ sum_k pi_k F_k, missä pi_k ovat sekoituskertoimia (mixing proportions) ja F_k ovat k:n komponentin jakaumia. Pi_k ovat ei-negatiivisia ja summaan pi_k = 1. Jokaisen komponentin sisäinen jakauma F_k määritellään parametreilla theta_k. Yhden havaintoyksikön kohdalla latentti muuttuja Z_i kertoo, mistä komponentista havainto on peräisin, ja X_i | Z_i=k noudattaa F_k(theta_k). Marginaalisti p(x) = sum_k pi_k f_k(x; theta_k).

Käytännössä komponenttijakaumia estimaattiin yleisesti EM-algoritmilla tai bayesiläisesti. Epsilon-vaiheen vastuut, gamma_ik = P(Z_i = k | X_i = x_i) antavat kunkin havainnon todennäköisen alkuperän. Seuraavan komponentin määrän ja parametrit määrittävät mallin laadun; tyypillisiä valintoja ovat Gaussian-komponentteja käyttäviä sekoitusmalleja sekä Poisson- tai multinomiaalin komponentteja erilaisten datatyyppien mukaan. Komponenttijakauma on keskeinen käsite klusteroinnissa, tiheydenseurannassa ja arvojen arvioinnissa. Identifioitavuusongelmat kuten label-switching ovat yleisiä monikomponenttisissa malleissa.