Kommutatorer

En kommutator (plural: kommutatorer) är ett uttryck som används inom matematiken och fysiken för att mäta hur två element A och B i en algebra inte kommuterar. Den definieras som [A,B] = AB − BA. Kommutatorn är bilineär i sina argument och uppvisar anti-symmetri, dvs [A,B] = −[B,A]. Den uppfyller även Jacobis identitet: [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0. I gruppteori används ofta en annan form [g,h] = ghg^{-1}h^{-1} som beskriver hur mycket två gruppmedlemmar inte kommutationerar.

I algebraiska sammanhang, särskilt i associativa algebror, fungerar kommutatorn som en Lie-bracket och gör att en associativ algebra får en Lie-algebraisk struktur när man utrustar den med [A,B]. Kommutatorn är nödvändig för att definiera begrepp som den centrala delen Z(A) = {Z | [Z,A] = 0 för alla A}. Denna konstruktion är central för studier av symmetrier och representationer av algebror.

I kvantfysik och kvantmekanik är kommutatorer centrala eftersom de beskriver hur mätbara storheter påverkar varandra. För observabler A och B innebär ett icke-noll kommutator att deras mätningar inte kan göras samtidigt exakt. Ett välkänt exempel är position och rörelsemängd [x,p] = iħ. För matriser följer [AB] = AB − BA; exempelvis ger Pauli-matriserna [σ_i, σ_j] = 2i ε_{ijk} σ_k.

Andra sammanhang inkluderar differentialgeometri där kommutatorn av två vektorfält ger Lie-bracket och därigenom beskriver hur flöden sammanfaller. Inom gruppteori används kommutatorn för att definiera derived-subgruppen och kopplingen till Lie-algebras via exponentiation. Kommutatorer är därmed centrala i studier av icke‑kommuta strukturer inom olika grenar av matematik och fysik.