Kommutatorn

Kommutatorn betecknas vanligtvis [A,B] och definieras i en associativ algebra som AB − BA. Denna skillnad mäter hur mycket två element misslyckas att komma överens i ordningen de används. Om [A,B] = 0 så kommuterar A och B.

Inom gruppteori definieras ofta kommutatorn av två element a och b som a⁻¹b⁻¹ab (ibland skrivs den som ab a⁻¹b⁻¹). Denna konstruktion används för att bilda kommutatorgruppen G', den undergrupp som genereras av alla kommutatorer och vars existens leder till abelisering av en grupp, dvs. hur långt gruppen är från att vara abelsk när man modulerar ut G'.

Inom linjär algebra och ringteori används [A,B] = AB − BA. Egenskaperna inkluderar bilinearitet, antisymmetri [A,B] = −[B,A], och identiteten [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]. Fört ξε av spårnollhet: tr([A,B]) = 0 för varje par av kvadratiska matriser A och B.

Inom fysik används kommutatorer för att beskriva icke-kommuta mätningar av kvantiserade observabler. I kvantmekanik uppfyller position och rörelsemängd den kända [x,p] = iħ, vilket ligger till grund för osäkerhetsrelationen mellan dessa variabler. Inom differentialgeometri är Lie-bracketen { [X,Y] } av två vektorfält den naturliga måttstocken på hur två flöden non-commutar, och den spelar en central roll i teorier om ansamlingar och integrabilitet.

Sammanfattningsvis är kommutatorn ett centralt begrepp inom flera grenar av matematik och fysik som fångar hur mycket två objekt skiljer sig åt i ordning och struktur.