Koefficientmatrisen

Koefficientmatrisen är den matris som innehåller koefficienterna för de obundna variablerna i ett system av linjära ekvationer. Om systemet skrivs som Ax = b där A är koefficientmatrisen, x en kolumnvektor med variablerna och b högerled, fås en kompakt matrisrepresentation av problemet.

A kan vara kvadratisk eller rektangulär. Vid kvadratiska A kan lösningen vara unik, flera eller obefintlig beroende på dess rang och determinanten. Generellt speglar koefficientmatrisen hur variablerna påverkar varje ekvation och hur starkt de är kopplade till varandra. Om man utvidgar A med kolonnen b får man större augmenterad matris [A|b], vilket används i elimination och lösningsmetoder.

Egenskaper som ranken r(A) är central: den anger antalet linjärt oberoende kolonner och avgör antalet lösningar till systemet. För kvadratiska A gäller: unik lösning om det är inverterbart (det(A) ≠ 0); annars kan det finnas oändligt många lösningar eller ingen lösning alls. Inverterbarhet möjliggör lösningen x = A^{-1} b. I praktiken används ofta faktoriseringar som LU eller QR och Gausselimination för att hitta x utan att direkt beräkna inversen.

Användningsområden inkluderar lösning av linjära system, representation av linjära transformationer och konstruktion av bästa passform i minst kvadrater-problem när systemet är överbestämt. Koefficientmatrisen utgör kärnan i analys av hur ingående variabler samverkar och hur utdata påverkas under linjära modelleringar. Exempel: för systemet 3x + 2y = 5 och 4x − y = −2 är A = [[3, 2], [4, −1]].