KodairaSpencerteorien

Die Kodaira–Spencer-Theorie behandelt Deformationen der komplexen Struktur von kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. Sie wurde von Kunihiko Kodaira und Donald C. Spencer in den 1950er/60er Jahren entwickelt und zielt darauf abzuzeigen, wie sich komplexe Strukturen in Familien variieren lassen und wie sich die lokalen Moduli-Räume beschreiben lassen.

Zentrales Motiv ist die Beschreibung der ersten Ordnung von Deformationen durch die Kohomologiegruppe H^1(X, T_X), wobei T_X die Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit X ist. Für eine Familie π: X → B von komplexen Mannigfaltigkeiten liefert der Kodaira–Spencer-Abbildung ρ_b: T_b B → H^1(X_b, T_{X_b}) den Zusammenhang zwischen dem Tangentenraumpunkt der Basis und den infinitesimalen Deformationen der Faser X_b. In der Dolbeault-Darstellung spiegelt sich dieser Zusammenhang in Klassen wider, die Beltrami-Differentiale charakterisieren und so die erste Ordnung der Deformation festlegen.

Obstruktionen höherer Ordnung liegen in der Gruppe H^2(X, T_X). Der Kuranishi-Satz besagt, dass es eine lokale universelle Deformation gibt, deren Basis ein analytischer Raum ist (der Kuranishi-Raum) dessen Tangentenraum H^1(X, T_X) entspricht; die obstruktiven Bedingungen definieren Gleichungen, deren Lösungen die zulässigen Deformationen parametrisieren.

Im Spezialfall von Calabi–Yau-Mannigfaltigkeiten sind Deformationen der komplexen Struktur unbeobachtet (unobstruiert), ein Ergebnis des Tian–Todorov-Theorems. Der Moduli-Raum dieser Deformationen ist glatt und hat die Dimension h^{n-1,1}, wobei n die Dimension der Mannigfaltigkeit ist. Die Kodaira–Spencer-Theorie verbindet zudem die Variation der Hodge-Struktur mit der Kodaira–Spencer-Abbildung, die als Differential der Periodenabbildung interpretiert wird.

Bedeutung收到: Die Theorie ist zentral für das Verständnis von Moduli von komplexen Strukturen in der algebraischen Geometrie und spielt eine wichtige Rolle in der Stringtheorie sowie in der Konstruktion und Analyse von Familien komplexer Mannigflare.