Kiintopisteen

Kiintopisteena pidetään pistettä, joka pysyy muuttumattomana, kun siihen sovelletaan annettua karttaa tai muunnosta. Matematiikassa kartta f: X → X ja piste x ∈ X on kiintopiste, jos f(x) = x. Kiintopisteet esiintyvät muun muassa lineaarisissa ja epälineaarisissa muunnoksissa sekä dynaamisissa järjestelmissä ja toistettavissa prosesseissa.

Esimerkkejä kiintopisteistä: jos f(x) = x^2 − 2 reaaliakselilla, kiintopisteet ratkaistaan yhtälöstä f(x) = x, jolloin x = 2 tai x = −1. Toisessa tunnetussa esimerkissä logistisessa kartassa f(x) = r x (1 − x) kiintopisteet ovat x* = 0 ja x* = 1 − 1/r (r > 1). Eri kartat voivat omata eri määrän kiintopisteitä ja niiden sijainnit voivat riippua parametreista.

Stabiilisuus ja luonne: kiintopiste voidaan luokitella attraaktiiviseksi, repulsiiviseksi tai neutraaliksi sen paikallisen dynamiikan perusteella. Yhden muuttujan kartat ovat usein analyyttisiä: jos f'(x*) on pienempi kuin 1 absoluuttisesti, piste on attraaktiivinen; jos suurempi kuin 1, se on repulsiivinen; arvo 1 viittaa neutraaliin vakauteen.

Lähestymistavat ja teoreetit: kiintopisteiden laskemiseen käytetään ratkaisemista f(x) = x tai kiinteän pisteen iteraatiota x_{n+1} = f(x_n). Banachin kiinteän pisteen lause takaa yksikäsitteisen kiintopisteen olemassaolon ja konvergenssin, kun kartta on kontraktiivinen complete-tilassa.

Sovellukset: kiintopisteitä käytetään ratkaisujen löytämisessä numeerisissa yhtälöissä, dynamicalsystemsien analyysissä, algoritmeissa sekä mallinnuksissa esimerkiksi biologiassa, taloustieteissä ja tietojenkäsittelyssä. Kiintopisteen käsite on keskeinen sekä teoriassa että käytännön laskennassa.