kiintopisteet

Kiintopisteet ovat matemaattinen käsite, joka kuvaa pistettä, jonka kuvaaja palauttaa itsensä. Tarkemmin sanottuna annetaan kartta f: X → X; kiintopiste on piste x ∈ X sellainen, että f(x) = x. Samoin puhutaan kiintopisteistä dynaamisissa järjestelmissä, joissa tilaa päivitetään yhdellä askeleella; kiintopiste on tila, joka ei muutu seuraavalla askeleella.

Esimerkkejä: jos f(x) = x^2 reaaliluvuilla, kiintopisteet ovat x = 0 ja x = 1, sillä 0^2 = 0 ja 1^2 = 1. Funktio f(x) = cos(x) on toinen esimerkki: sen kiintopiste on likimäärin x ≈ 0.739085..., joka täyttää f(x) = x. Joillakin funktioilla ei ole todellisia kiintopisteitä.

Eksistenssi ja luonne: kiintopisteitä voi olla useita, ja niiden olemassaolo riippuu sekä kartasta että tilan rakenteesta. Yhdessä ulottuvuudessa jatkuvan funktion kiintopisteet voidaan usein todistaa osittain väittein (esim. väite intermediate value -periaatteen kaltaisista tulkinnoista). Monimutkaisemmissa tiloissa voidaan puhua useista kiintopisteistä, niiden stabiliteetista ja vuorovaikutuksesta.

Stabiilisuus ja kokoelmatiet: kiintopisteen stabiliteetti määritellään usein derivoidun tai lineaarisen osa33n avulla. Jos f'(p) |yli 1|, kiintopiste on repulsoiva; jos |f'(p)| < 1, se on vetäytyvä (attracting); jos = 1, tarvitaan tarkempaa analyysia. Diskreetissä dynamisissa järjestelmissä kiintopisteet voivat toimia faasifunktioina, joissa reitti lähtee tai lähestyy kiintopistettä.

Sovellukset: kiintopisteiden käsite on keskeinen ratkaisuissa virroissa, numeerisissa menetelmissä (esim. kiintopistetäsmäytykset ja kontraktioli menetelmät), sekä dynaamisissa järjestelmissä ja grafiikoissa. Laiton lisäksi kiintopisteisiin liittyviä teorioita kutsutaan usein kiintopiste-teorioiksi, mukaan lukien kontraktiomatematiikka ja kiintopistein tumma analyysi.

See also: kiintopiste-teoreemat, kontraktiomatematiikka, dynaamiset järjestelmät, stabiliteetti.