Kertymäfunktiot

Kertymäfunktiot ovat tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa käytettyjä funktioita, jotka kuvaavat satunnaismuuttujan kertymää eli sitä, miten todennäköisyydet kasaantuvat koon mukaan. Termiä käytetään erityisesti kuvaamaan kertymäjakauman funktiota sekä laajemmin muita kertymään liittyviä generoija-funktioita.

Kertymäjakauman funktio, eli kertymäfunktio, määritellään satunnaismuuttujalle X seuraavasti: F_X(x) = P(X ≤ x). Se on ei-vähenevä, oikea-continua sekä rajoittuu välillä 0 ja 1. Rajat ovat lim_{x→−∞} F_X(x) = 0 ja lim_{x→∞} F_X(x) = 1.

Kertymäfunktio ja jakauma ovat tiukasti yhteydessä toisiinsa: jakauma määrittelee kertymäfunktion, ja päinvastoin F_X(x) antaa täydellisen kuvan X:n jakaumasta. Eri jakautumien mukaan F_X on erilainen: diskreetillä X:llä F_X on portaikkoinen, kun taas jatkuvalla X:llä se on jatkuva funktiona.

Käytännössä kertymäfunktioita voidaan laskea sekä diskreetin että jatkuvan näytteistön tapauksessa: diskreetissä tapauksessa F_X(x) on summien, jatkuvassa tapauksessa integraalien tulos. Kertymäfunktioiden lisäksi termiä voidaan käyttää laajemmin viittaamaan muihin kertymää kuvaaviin generoivaa funktioihin, kuten momenttien generaattoriin M_X(t) = E[e^{tX}] sekä kertymägeneraattoriin K_X(t) = log M_X(t). Nämä funktiot eivät ole CDF:itä, mutta ne helpottavat momenttien ja kertymien laskemista sekä limittilaskentaa.

Käyttökohteita ovat perusmallien kuvaaminen ja vertailu, todennäköisyyksien laskeminen, tilastollinen päättely sekä konvergenssien ja potentiellisten ominaisuusjakaumien tutkimukset. Kertymäfunktiot tarjoavat keskeisen työkalun jakaumien analysointiin.