Kardinaliteettiä

Kardinaliteettiä tarkoittaa joukon koon, eli alkioiden määrän mittaamista. Kardinaliteetti ilmoitetaan |A|, jossa A on tarkasteltava joukko. Jos A on finiittinen, |A| on luonnollinen luku. Epäfiniittisille joukoille kardinaliteetti voi olla ei-luonnollinen luku, jolloin puhutaan kardinaliluvusta tai aleph-nuolista.

Kardinaliteetti määrittelee kaavan equipotenttisuudelle: kaksi joukkoa A ja B ovat equinumerous, jos niille on olemassa bijektio A ↔ B. Tämä antaa joukoille saman koon riippumatta niiden rakenteesta tai vastaanotetusta esitystavasta.

Esimerkkejä: luonnolliset luvut N sekä kokonaisluvut Z ja rationaaliluvut Q ovat laskettavia joukkoja, joiden kardinaliteetti on aleph_0 (countable). Reaaliluvut R ovat epälaskettavia, ja niiden kardinaliteetti on c = 2^{aleph_0}.

Perusominaisuuksiin kuuluu, että kun yhdistetään tai kertolaskentaa käytetään, kardinaliteetit noudattavat erityisiä sääntöjä. Esimerkiksi epäfiniittisten joukkojen unionin ja maksimin kokojen suhde johtaa usein suuremman kardinaliteetin määriin: |A| ≤ |A∪B| ≤ |A|+|B| ja |A×B| = |A|·|B|. Cantorin lause korostaa, että P(A) eli kaikkien subsetien koko on suurempi kuin A itse; tämän kautta esimerkiksi |N| < |R|.

Kardinaliteettiä käytetään laajasti set theoryn lisäksi analyysissä ja logiikassa, sekä se liittyy contiuum-hypoteesiin, joka on ZFC- (perusjoukkoteorian) valinnaisuuksien ala. Kontinuumihypoteesi väittää, ettei zatien aleph-judessa olisi lukuarvoa 2^{aleph_0} alempana; sen todistus on riippumaton peruslaeista.