KalmanFilterModelle

KalmanFilterModelle bezeichnen eine Klasse statistischer Modelle, die Kalman-Filter-Algorithmen verwenden, um verborgene Zustände eines dynamischen Systems aus verrauschten Messungen zu schätzen. Typische Darstellungen arbeiten mit einem diskreten Zeitprozess x_k = F x_{k-1} + B u_{k-1} + w_{k-1} und einer Messung z_k = H x_k + v_k, wobei w_k und v_k unabhängige Gaußsche Rauschprozesse mit Kovarianzen Q bzw. R sind. Ziel ist die optimale Schätzung der Zustandsvariable x_k basierend auf allen Messungen bis k, gemessen am mittleren quadratischen Fehler.

Im klassischen linearen Kalman-Filter erfolgen Vorhersage und Update durch geschlossene Formeln. Die Vorhersage liefert x̂_{k|k-1} = F x̂_{k-1|k-1} + B u_{k-1} und P_{k|k-1} = F P_{k-1|k-1} F^T + Q. Im Update-Schritt wird der Innovationsvektor y_k = z_k − H x̂_{k|k-1} genutzt, die Kalman-Verstärkung K_k = P_{k|k-1} H^T (H P_{k|k-1} H^T + R)^{-1}, gefolgt von x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + K_k y_k und P_{k|k} = (I − K_k H) P_{k|k-1}. Diese Schätzung ist optimal bei linearen Modellen mit gaußschem Rauschen.

Varianten umfassen das Erweiterte Kalman-Filter EKF (für nichtlineare Systeme durch Linearisation), das Unscented Kalman-Filter UKF (mit unscented transform) sowie das Ensemble Kalman-Filter EnKF; weitere Ansätze verwenden Partikelmethoden. KalmanFilterModelle finden breite Anwendung in Navigation, Robotik, Raumfahrt, Signalverarbeitung und Ökonometrie, insbesondere dort, wo Zustände schrittweise geschätzt und laufend aktualisiert werden müssen. Zu beachten sind Modellannahmen, Bedarf an korrekten Kovarianzen Q und R sowie Versagen bei stark nichtlinearer oder multimodaler Rauschlandschaft.