Jakautumismallit

Jakautumismallit ovat tilastollisia malleja, jotka kuvaavat todennäköisyyksiä sille, miten satunnainen muuttuja jakautuu. Ne määrittelevät, millä todennäköisyydellä muuttuja saa tietyn arvon tai arvojen joukon ilmiössä.

Jakautumismallit jaotellaan yleisesti diskreetteihin ja jatkuviin. Diskreettien mallien esimerkkejä ovat binomiaalijakauma, Poisson-jakauma, negatiivinen binomijakauma sekä geometrinen ja hypergeometrinen jakauma. Jatkuvien mallien tunnetuimpia esimerkkejä ovat normaalijakauma, lognormaali, eksponentiaalinen, Gamma-, Beta-, Uniform- ja Weibull-jakaumat sekä Cauchy-jakauma.

Jakaumien parametrien arvoilla on suora vaikutus mallin muotoon ja sijaintiin. Esimerkiksi normaalijakaumassa keskiarvo μ ja varianssi σ²; binomiaalijakaumassa parametrit n ja p; Poissonin jakaumassa λ; eksponentiaalijakaumassa λ; gamma-jakaumassa muodon ja mittasuhteen parametrit k ja θ (tai α ja β). Beta- ja Weibull-jakaumilla on omat parametrijärjestelmänsä.

Jakautumien määritelmäksi käytetään todennäköisyysfunktiota: PMF tai PDF sekä CDF. Niiden avulla voidaan laskea odotusarvo, varianssi sekä muut momentit ja tehdä tilastollista inferenssia.

Jakautumismalleja käytetään datan sovittamiseen, todennäköisyyksien arviointiin sekä ennusteiden tekemiseen. Ne ovat keskeisiä esimerkiksi kertymien, lukumäärien, elinikien ja riskien mallintamisessa sekä laadunvalvonnassa. Estimointi tapahtuu usein maksimivarmuusmenetelmällä tai momenttien menetelmällä, ja bayesilaiset lähestymistavat ovat yleisiä monimutkaisemmissa tapauksissa. Hyödyllisiä ovat myös hyvyyden arvioinnin testit kuten Kolmogorov-Smirnovin testi tai χ²-testi.