normaalijakaumassa

Normaalijakauma, englanniksi normal distribution, on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on symmetrinen ja kellonmuotoinen. Se määritellään kahdella parametri: keskiarvo μ ja hajonta σ. Jakauman odotusarvo on μ ja hajonta kuvaa sen leveyden.

Tiheysfunktio on f(x|μ,σ) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x - μ)² / (2σ²)). Standardinormaalijakauma, Z ~ N(0,1), saadaan muuntamalla Z = (X - μ)/σ. Kumulatiivinen jakaumakäyrä Φ kertoo todennäköisyyden, että X ≤ x.

Normaalijakauman ominaisuuksiin kuuluvat symmetria, unimodalisuus ja täysin määritellyt momentit: E[X] = μ ja Var(X) = σ². Skewness on 0 ja kurtosis on 3. Monet mittausvirheet ja luonnonilmiöt ovat käytännössä normaalisti jakautuneita suurilla näytteillä, minkä vuoksi normaalijakaumaa käytetään laajasti tilastotieteessä.

Se toimii keskeisenä mallina tilastollisissa menetelmissä, kuten luottamusvälien laskemisessa, tilastollisissa testeissä ja regressiomalleissa. Lisäksi X:n standardointi Z = (X - μ)/σ mahdollistaa normaalijakauman hyödyntämisen ja vertailun standardinormaalijakauman kanssa. Central limit theorem tukee normaalijakauman käyttöä monissa sovelluksissa, koska summien ja keskiarvojen jakautumat lähestyvät normaalijakaumaa suurilla näytteillä.