Jakautumafunktioiden

Jakautumafunktioiden käsite kuvaa satunnaismuuttujien jakaumia. Yleisesti jakautumafunktio määritellään F_X(x) = P(X ≤ x), eli todennäköisyys sille, että muuttuja X on pienempi tai yhtä suuri kuin x. Jakautumafunktio kuvaa koko jakauman kertymäprofiilin ja sitä voidaan käyttää sekä yksittäisille että useammille muuttujille.

Ominaisuudet: Jakautumafunktio on ei-haravaan, ei-nouseva? se on kasvava ja oikeakohottinen (right-continuous). Rajat arvoilla ovat F_X(-∞) = 0 ja F_X(∞) = 1. Diskreetillä jakaumalla F_X on askelpohjainen, eli siinä on hyppyjä arvoissa, joissa X voi saada kopioita. Jatkuvalla jakaumalla F_X on jatkuva ja sen derivaatta f_X = dF_X/dx, jos derivaatta on olemassa, vastaa todennäköisyystiheysfunktiota (pdf). Yhteydessä tiheyteen F_X(x) = ∫_{-∞}^{x} f_X(t) dt.

Käyttö ja laajemmat muodot: Yksittäisen muuttujan lisäksi on olemassa monimutkaisempia jakaumia, kuten yhteisjakaumia F_{X,Y}(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y). Tällainen joint-jakauma määrittää kahden tai useamman muuttujan samanaikaiset todennäköisyydet. P(a < X ≤ b) voidaan laskea F_X(b) − F_X(a). Inversiovuoro, eli kvantilefunktio F^{-1}(p) = min{x : F_X(x) ≥ p}, on tärkeä simulaatiossa ja tilastollisessa kytkennässä kertaluokkaan.

Esimerkki: Tasajakautuma [0,1] antaa F(x) = 0, jos x < 0; F(x) = x, jos 0 ≤ x ≤ 1; ja F(x) = 1, jos x ≥ 1. Yleisesti jakautumafunktio määrittää täysin jakauman ja sitä voidaan käyttää sekä epäjatkuvan että jatkuvan jakauman analysointiin sekä todennäköisyyksien laskemiseen että simulaatioihin.