Inversionsmetodik

Inversionsmetodik avser samlingen av matematiska och beräkningsmässiga metoder som används för att lösa inverse problem: att dra slutsatser om okända modellparametrar från indirekta eller brusiga mätningar. Vid ett inversionsproblem ges ofta data y som kan modelleras som y = F(m) + ε, där F är en forward-modell och ε representerar fel eller brus. Målet är att uppskatta modellen m som bäst förklarar observationerna, ofta med krav på stabilitet och rimliga fysiska parametrar. Problemet är vanligtvis ill-posed: flera olika m kan ge liknande data och små förändringar i data kan leda till stora förändringar i lösningen. Därför används regularisering och annan information.

Vanliga tillvägagångssätt inkluderar regularisering med L2- eller L1-norm (Tikhonov-regulering), där man söker m som minimerar ett felmått tillsammans med en straffterm; Bayesiansk inversion, som tolkar m som en stokastisk variabel och använder prior och sannolikhetsmodeller för att få en posterior för m; iterativa optimeringsmetoder som Gauss-Newton, Levenberg–Marquardt och adjoint-metoder för att beräkna gradienter; samt regularisering som främjar sparsitet eller bildkvalitet, till exempel total variation.

Tillämpningar finns inom geovetenskap (seismisk inversion, tomografi), medicinsk bildbehandling (CT, MR), miljö- och fjärranalys samt industriell processövervakning. Bedömning av resultatet görs ofta med syntetiska tester, korsvalidering eller L-kurvor för att välja lämplig regulariseringsgrad. Inversionsmetodik utvecklades ur inverse theory, med bidrag från Hadamard och Tikhonov; moderna metoder betonar kombinationen av matematisk teori och datorbaserad optimering.