Tikhonovregulering

Tikhonovregulering, eller Tikhonov-regulering, er en metode til stabilisering af ill-posed inverse problemer ved at tilføje en reguleringsstraf til målfunktionens udtryk. Den anvendes ved løsning af ligningen Ax ≈ b, hvor A ofte er dårligt konditioneret og b indeholder støj. Ideen er at minimere sum af dataafvigelse og en reguleringsterm: min_x ||Ax - b||^2 + λ||Lx||^2, hvor λ > 0 er reguleringsparameteren, og L er en lineær operator, der afspejler forudkendskab til x, fx glathed.

Hvis L er identitet, svarer metoden til ridge-regression; andre valg af L giver forskellige priors, som f.eks. forskelsoperatorer der fremmer glathed eller dæmpning af støj i højfrekvente komponenter. Reguleringen tvinger løsningen til at være mindre følsom over for støj og dårlige tilstande i A.

Løsningen: minimizeren opfylder normal ligninger (A^T A + λ L^T L)x = A^T b, hvilket giver x_λ = (A^T A + λ L^T L)^{-1} A^T b, forudsat at matricen er inversibel. I praksis anvendes numeriske lineære algebra-algoritmer eller iterative metoder til store eller sparse problemer.

Udvælgelse af λ er central: metoder inkluderer L-kurve, generaliseret krydsvalidering (GCV) og diskrepans-principen, som sigter mod at balancere data fidelity og glathed eller andre priorer.

Anvendelser: billeddeblurring, geofysik, tomografi, spektroskopi, medicinsk billeddannelse og generelle inverse problemer inden for natur- og teknikområder. Metoden er et grundlæggende værktøj til stabilisering af problemer, hvor information er begrænset eller støjfølsomhed er høj.