Interpolationsprozess

Interpolationsprozess bezeichnet in der numerischen Mathematik den Prozess der Schätzung neuer Messwerte oder Funktionswerte innerhalb des Bereichs einer bekannten Datensammlung. Ziel ist es, aus einer endlichen Menge von Stichpunkten eine glatte Funktion zu rekonstruieren, die zwischen den bekannten Punkten exakt bestimmte Eigenschaften erfüllt. Im Gegensatz zur Extrapolation werden beim Interpolationsprozess Werte nur innerhalb des Intervalls der bekannten Datenpunkte geschätzt.

Gängige Verfahren der Interpolation umfassen lineare Interpolation, polynomiale Interpolation (z. B. Lagrange- oder Newton-Form), sowie Splines, insbesondere kubische Splines. Weitere Ansätze sind Hermite-Interpolation, die zusätzlich Steigungsangaben berücksichtigt, sowie fortgeschrittene Methoden wie Radialbasis-Funktions-Interpolation oder geostatistische Ansätze wie Kriging. Je nach Anwendung werden Stückweise Polynome oder globale Polynome verwendet, wobei Splines oft Glätte und Stabilität bei großen Datensätzen bieten.

Die Güte der Interpolation hängt von der Glätte der zugrunde liegenden Funktion, der Verteilung der Stützstellen und der gewählten Methode ab. Interpolationsfehler lassen sich durch Ableitungen der Zielfunktion begrenzen; Hochgradige globale Polynomialinterpolation auf gleichmäßig verteilten Stützstellen kann jedoch zum Runge-Phänomen führen. Die Wahl geeigneter Stützstellen (z. B. Chebyshev-Knoten) oder der Einsatz von Splines mildert solche Effekte. Interpolation liefert Werte, die exakt mit den Stützpunkten übereinstimmen, ist jedoch im Allgemeinen kein verlässliches Werkzeug für Extrapolation außerhalb des Stichprobenbereichs.

Anwendungen finden sich in Datenvisualisierung, Signalen, Bildverarbeitung, wissenschaftlichen Simulationen und Geoinformationssystemen. In der Praxis werden oft Bibliotheksfunktionen genutzt, die je nach Anforderungen lineare, kubische oder mehrstufige Interpolation implementieren und Stabilität sowie Effizienz berücksichtigen.