Interpolationsfehler

Interpolationsfehler bezeichnet den Unterschied zwischen dem wahren Funktionswert f(x) und dem Wert der Interpolationsfunktion p_n(x) an der Stelle x. Gegeben seien n+1 Stützstellen x_0, …, x_n und das Interpolationspolynom p_n, das durch p_n(x_i) = f(x_i) erfüllt. Der Fehler E_n(x) = f(x) − p_n(x) hängt von der Glattheit von f und der Wahl der Stützstellen ab.

Für f stetig differenzierbar bis zum (n+1)-ten Grad auf einem Intervall gilt der Lagrange-Fehlersatz: Es existiert ξ_x im Intervall, sodass

E_n(x) = f^{(n+1)}(ξ_x) / (n+1)! · ∏_{i=0}^n (x − x_i).

Insbesondere verschwindet der Fehler, wenn f eine Polynomfunktion vom Grad ≤ n ist.

Folgen und Phänomene: Bei hohen Graden kann der Interpolationsfehler stark anwachsen, insbesondere bei gleichverteilten Stützstellen (Runge-Phänomen) für Funktionen wie f(x) = 1/(1+x^2) auf [-1,1]. Die Wahl der Stützstellen beeinflusst den Fehler wesentlich. Chebyshev-Stützstellen minimieren den maximalen Fehler und mindern das Runge-Phänomen signifikant.

Grobe Schranken und Stabilität: Aus der oberen Schranke |E_n(x)| ≤ M/(n+1)! · max_{x ∈ [a,b]} |w_n(x)| gilt, wobei M die Obergrenze von |f^{(n+1)}| und w_n(x) das Produkt ∏ (x − x_i) ist. Die Problemstabilität hängt zudem vom Lebesgue-Konstante ab; bei gleichverteilten Knoten wächst sie stark, bei gut gewählten Knoten langsamer, etwa O(log n) bei Chebyshev-Knoten.

Alternativen: Bei schlechter Kondition oder unpassenden Stützstellen werden oft Splines, Spline-Interpolation oder andere Approximationsmethoden eingesetzt.