Integrationsmethode

Integrationsmethode bezeichnet in der Mathematik die Verfahren, mit denen Integrale berechnet oder ausgedrückt werden. Ziel ist eines der beiden: das unbestimmte Integral als Stammfunktion oder das bestimmte Integral, das oft eine Fläche oder einen Erwartungswert beschreibt.

Zu den klassischen analytischen Techniken gehören Substitution (u-Substitution) zur Vereinfachung des Integranden, Integration durch Teile, Partialbruchzerlegung zur Integration rationaler Funktionen sowie trigonometrische Substitution und der Einsatz trigonometrischer Identitäten zur Vereinfachung radikaler Ausdrücke. Für bestimmte Funktionsarten kommen auch Reduktionsformeln und spezielle Integrationsregeln zum Einsatz. Manche Integrale lassen sich in geschlossener Form nicht ausdrücken; dann helfen weitergehende Methoden aus der Analysis sowie der Einsatz bekannter Funktionen.

Neben analytischen Methoden spielen numerische Integrationsverfahren eine zentrale Rolle, wenn eine geschlossene Stammfunktion nicht vorhanden ist. Wichtige Verfahren sind die Trapezregel, die Simpsonregel und adaptives Quadrieren bzw. adaptive Quadratur; in mehrdimensionalen Fällen kommen Monte-Carlo-Methoden zum Einsatz.

Historisch wurden die Grundlagen der Integrationsmethode durch Newton, Leibniz und später Euler gelegt. Heute umfasst der Begriff sowohl klassische analytische Techniken als auch numerische Ansätze und ist in vielen Fachgebieten von Bedeutung, etwa in der Physik, Statistik und Technik.