Quadrieren

Quadrieren bezeichnet in der Mathematik das Erhöhen einer Zahl auf die Potenz 2. Das Ergebnis wird als Quadrat der Zahl bezeichnet. Die Schreibweise erfolgt üblicherweise mit x^2 oder x hoch zwei; das Quadrat von x ist das Produkt x·x. Beispiele: 3^2 = 9, (−4)^2 = 16, (3.5)^2 = 12.25. Allgemeine Eigenschaften: (xy)^2 = x^2 y^2; (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (Binomische Formel). Das Quadrieren gehört zur Potenzrechnung.

Geometrisch entspricht das Quadrat einer Länge x dem Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge x. Die Funktion f(x) = x^2 ist eine einfache parabolische Funktion; sie ist nicht injektiv über die reellen Zahlen, da x^2 = (−x)^2. Für alle reellen x gilt x^2 ≥ 0; x^2 = 0 nur, wenn x = 0.

Anwendungen: Quadrieren wird in Algebra (Gleichungen, Ausdrücke), Geometrie und Physik verwendet, sowie in Statistik (Varianz bildet sich aus quadratischen Abweichungen). Es spielt eine zentrale Rolle in vielen Formeln, etwa beim Pythagoras, Quadratsummen und in der Flächenberechnung. Der Begriff steht auch im Zusammenhang mit Quadratflächen, Quadratwurzel und Quadratur.

Historisch ist der Begriff der Quadratur eng mit dem Anliegen verknüpft, Flächeninhalte zu erfassen. Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie, das zeigt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises nicht durch eine Konstruktion mit nur Gerade- und Kreisbegnungen in ein Quadrat überführen lässt; dies wurde im Laufe der Geschichte als unmöglich erwiesen.