Integraalilaskennan

Integraalilaskenta on matematiikan osa, joka tutkii integraaleja sekä niiden laskemista ja sovelluksia. Siinä erotetaan määritelty integraali ja määrittelemätön integraali. Määritelty integraali ∫_a^b f(x) dx mittaa käyrän f ja x-akselin välisen alueen a:n ja b:n välillä sekä osoittaa kertymän arvoja, kuten pinta-alaa tai kokonaiskertymää. Määrittelemätön integraali ∫ f(x) dx on funktion antiderivaatta F, jolle F' = f.

Peruslauseen mukaan differentiointi ja integraatio ovat käänteisiä prosesseja: jos F on f:n antiderivaatta, niin ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Tämä yhteys muodostaa integraalilaskennan teoreettisen pohjan.

Integrointimenetelmät kattavat useita tekniikoita. Yleisesti käytettyjä ovat muunnosmenetelmät kuten muunnos (u-substitution) sekä osittaisintegrointi (int-by-parts). Erityistapauksissa hyödynnetään trigonometristen, eksponentiaalisten ja logaritmisten funktioiden ominaisuuksia sekä murska- tai osamurtamistekniikoita rationaalifunktioille. Kaikissa tapauksissa tabulointi ja kaavojen muistaminen helpottavat ratkaisuja.

Numeraalinen integrointi on tärkeä, kun analyyttinen ratkaisu puuttuu. Yleisimmät menetelmät ovat trapezium- ja Simpsonin säännöt sekä Gaussin quadrature, joita käytetään sekä yksikertaisissa että moninkertaisissa integraaleissa. Epälikvidien tai epänormaaleja integraaleja käsitellään rajojen lähentämisillä ja konvergenssitarkastuksilla.

Moninkertaisessa integraalissa aineistoa käsitellään useita kertaa iteratiivisesti, ja muuttuva- tai epämuuttujuoksun muunnoksilla sekä rotaatioilla laajennetaan integraatioa alueille kolmois- tai kaksinkertaisiin muunnelmiin sekä tilavuuksien ja pinta-alojen laskemiseen. Olennaista ovat Fubinin ja muut transformatiot. Sovelluksia esiintyy fysiikassa, taloustieteessä, tilastotieteessä ja insinööritieteissä.