Innenabschätzungen

Innenabschätzungen bezeichnen Schätzwerte, die eine Größe aus dem Inneren eines Objekts ableiten und daher eine untere Schranke (eine Innenabschätzung) liefern. Sie dienen dazu, Quantitäten zu begrenzen, wenn äußere Informationen fehlen oder schwer zu gewinnen sind, und ergänzen damit Außenabschätzungen, die von außen abgeleitet werden.

In der Maßtheorie und Analysis treten Innenabschätzungen häufig in Zusammenhang mit innerer Regularität von Maßen auf. So kann man eine Größe einer Menge A oft durch die Supremumsbildung über Inneres gewinnen, etwa μ(A) ≥ μ(K) für alle kompakten K mit K ⊂ A; unter bestimmten Regularitätsannahmen reicht zudem μ(A) = sup{ μ(K) : K ⊂ A, K kompakt }. Solche inneren Schranken geben verlässliche Mindestwerte, ohne das gesamte Objekt vollständig zu erfassen.

In der Geometrie ermöglichen Innenabschätzungen inscribedale Annäherungen. Beispielsweise liefert die größte im Inneren enthaltene Ellipse (John- Ellipsoid) oder das größte innerlich enthaltene Polytop eine innere Schranke für das Volumen oder andere Maße der Ausgangskörper. Ähnliche Konzepte gelten für andere Größen, etwa Oberflächenmaße oder Integrale über Innenbereiche.

In der numerischen Optimierung treten Innenabschätzungen auf, wenn man den zulässigen Bereich schrittweise verengt oder durch zulässige Teilmengen ersetzt, um garantierte untere Bounds für Ziele zu erhalten, während äußere Abschätzungen oft durch Überdeckung oder Relaxationen gewonnen werden.

Zusammenfassend dienen Innenabschätzungen dazu, aus verfügbaren inneren Informationen verlässliche untere Grenzen abzuleiten, oft als Gegenstück zu Außenabschätzungen.