Innenableitung

Innenableitung bezeichnet in der Analysis die Ableitung einer Funktion am Punkt x0, die durch Grenzwertbildung des Differenzenquotienten mit Schrittweiten h bestimmt wird, wobei x0 + h im Definitionsbereich der Funktion bleibt. Sie ist damit die Ableitung, die aus dem Inneren des Definitionsbereichs kommt.

Im Grundsatz gilt: Wenn x0 ein innerer Punkt des Definitionsbereichs I ist, dann entspricht die Innenableitung der üblichen Ableitung f'(x0). Befindet sich x0 dagegen an einem Randpunkt von I, so ist die Innenableitung, sofern sie existiert, eine einseitige Ableitung, die sich nur durch Schritte innerhalb des Definitionsbereichs nähert (z. B. die Rechtsableitung bei I = [a, b] und x0 = a).

Beispiele verdeutlichen den Unterschied. Für f(x) = x^2 auf dem Intervall [0,1] existiert die Innenableitung an x0 = 0 als rechtsseitige Ableitung: lim_{h→0+} (f(0+h) − f(0))/h = lim_{h→0+} h = 0. Ist der Funktionswert außerhalb des Intervalls nicht definiert, kann die zweifache Ableitung am Rand fehlen, während die Innenableitung existieren kann, falls die entsprechende einseitige Grenzwertbildung gelingt.

In mehrdimensionalen Fällen entspricht die ähnliche Idee der Richtung ableitungen, die nur in Richtungen innerhalb des Definitionsbereichs gehen. Der Begriff Innenableitung wird dort seltener verwendet; üblicherweise spricht man von einseitigen oder gerichteten Ableitungen und von Differenzierbarkeit auf offenen bzw. abgeschlossenen Mengen.

Siehe auch: Einseitige Ableitung, Richtungsableitung, Differenzierbarkeit.