Injektif

Injektif, dalam bahasa Inggris injective, adalah sifat sebuah fungsi yang menjamin bahwa setiap elemen domain dipetakan ke gambar yang unik di kodomainnya. Dengan kata lain, jika dua elemen domain memiliki gambar yang sama, maka kedua elemen tersebut ternyata sama. Fungsi biasanya ditulis sebagai f: A → B, dengan syarat f adalah injektif jika f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2 untuk semua a1, a2 ∈ A. Alternatifnya, tidak ada dua elemen berbeda di A yang memiliki citra yang sama.

Definisi formal ini berarti gambar f(A) adalah subset dari B, dan setiap elemen di A memiliki pasangan gambar yang unik di B. Secara konseptual, injektif berarti fungsi tidak “menggabungkan” elemen berbeda menjadi satu citra yang sama. Jika sebuah fungsi injektif, maka ada invers sebelah kiri pada gambar f(A); secara umum invers penuh terhadap seluruh B mungkin memerlukan pilihan tambahan.

Contoh fungsi injektif meliputi f(x) = 2x dari bilangan real ke bilangan real, f(n) = n + 1 dari bilangan bulat ke bilangan bulat, serta f(x) = e^x dari R ke R+ sehingga tidak ada dua bilangan berbeda yang diberi citra yang sama. Fungsi f(x) = x^2 dari R ke R tidak injektif karena f(1) = f(-1).

Perbandingan dengan surjektif (onto) dan bijektif: surjektif berarti gambar f adalah seluruh kodomain, bijektif berarti fungsi keduanya injektif dan surjektif. Beberapa sifat penting: komposisi dua fungsi injektif juga injektif, dan jika domainnya berukuran finite, maka injeksi berarti ukuran domain tidak lebih besar dari ukuran kodomain.