Incenterul

Incenterul unui triunghi este punctul de intersectie al bisectoarelor unghiurilor sale interne și, prin urmare, centrul cercului înscris al triunghiului. Cercul înscris este tangent la cele trei laturi ale triunghiului și poartă denumirea de cercul înscris; raza acestui cerc se noteaza cu r.

Incenterul este situat întotdeauna în interiorul triunghiului și este echidistant de cele trei laturi, adică distanța de la incenter la fiecare latură este egală (datorită cercului înscris). Este punctul unic care îndeplinește această proprietate.

Coordonate și reprezentări. Daca a = lungimea laturii opuse vârfului A (adica BC = a), b = CA, c = AB, atunci incenterul are coodonatele barycentrice a:b:c. În coordonate carteziene, dacă A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC), atunci incenterul are coordonatele:

I = ((a xA + b xB + c xC)/(a+b+c), (a yA + b yB + c yC)/(a+b+c)).

Raza cercului înscris se afla din relația r = Δ / s, unde Δ este aria triunghiului iar s = (a+b+c)/2 este semiperimetrul. Suprafața cercului înscris este πr^2. Punctele de atingere ale cercului cu laturile sunt pe laturi în punctele corespunzătoare, formând cele trei segmente de contact.

Conștruire. Incenterul poate fi construit ca punctul de intersecție al a două bisectoare ale unghiurilor triunghiului. Distanta de la in centru la o latură măsoară raza cercului înscris.