Identitetsmorfism

Identitetsmorfism, id_A: A -> A, är ett morfism i en kategori som fungerar som identitet under komposition. Det knyter an till varje objekt och är central för hur morfismers samverkande beskrivas i kategoriteori.

För varje morfism f: A -> B gäller att f ∘ id_A = f och id_B ∘ f = f. Det innebär att identitetens närvaro inte förändrar morfismen som passerar igenom den, utan verkar som ett neutralt element i kompositionen. Det finns också exakt en identitetsmorfim för varje objekt A, ofta noterad som id_A.

I kategoriteorin utgör identitetsmorfismen en av de grundläggande axiomen tillsammans med associativitet hos kompositionen. Tillsammans med övriga morfismskopioner styr identitetsmorfismen hur objekt och morfier sammanbinds i en kategori och säkerställer att kompositionen beter sig som den ska.

Funktioner under funktorer. Om F är en funktor mellan två kategorier bevarar den identitetsmorfismen: F(id_A) = id_{F(A)}. Detta är viktigt för att bevara kategorins strukturella egenskaper när den avbildas av en funktor.

Exempel och användning. I kategorin Set av mängder är id_A den vanliga identitetsfunktionen på mängden A. I kategorin Grp är id_A den identiska grupp homomorfismen på gruppen A. Identitetsmorfismen används också i bevis och konstruktioner där man behöver uttrycka att ett föremål sitter fast under sammansättning med andra morfimer.