Hypergeometriset

Hypergeometriset viittaavat matemaattisessa kielessä hypergeometristen rakenteiden ryhmään, johon kuuluvat esimerkiksi hypergeometriset jakaumat ja hypergeometriset funktiot sekä niihin liittyvät yhtälöt ja laajennukset. Käytettävyys kohdistuu tilastotieteeseen, analyyttiseen gammaan sekä sovelluksiin kuten fysiikkaan ja kombinaatioihin.

Hypergeometrinen jakauma kuvaa otosta ilman palautusta finite populaatiosta. Olkoot N populaation koko, K menestyksiä populaatiossa ja n otosten määrä. Havainto X vastaa otoksessa löytyneiden menestysten lukumäärää, ja sen todennäköisyys on P(X=k) = C(K,k) C(N−K, n−k) / C(N, n), missä k on sovellettavissa arvoalueella max(0, n−(N−K)) ≤ k ≤ min(n, K). Odotusarvo on E[X] = nK/N ja varianssi Var[X] = n(K/N)(1−K/N)(N−n)/(N−1). Hypergeometrinen jakauma liittyy binomiaaliseen jakaumaan: suurpopulaatio-skaalauksessa se lähenee binomiaalista.

Hypergeometrinen funktio viittaa Gaussin hypergeometriseen funktioon sekä yleisempiin pFq-funktioihin. Gaussin 2F1-funktio määritellään sarjana: 2F1(a,b;c;z) = ∑_{n≥0} (a)_n (b)_n / (c)_n · z^n / n!, jossa (q)_n on Pochhammerin symboli. Sarja konvergoi päättymättömästi |z|<1 ja voidaan jatkaa analyyttisesti. Erityistapauksissa, kun a tai b on ei-positiivinen kokonaisluku, sarja päättyy polynomiksi. Yleistyksiä ovat yleisemmät pFq-hypergeometriset funktiot, jotka sisältävät useamman kuin kaksi nousevaa parametriä.

Hypergeometriset rakenteet esiintyvät tilastossa otosten ilman palauttamisen malleissa, kombinaatioiden laskennassa sekä erilaisten differentiaaliyhtälöiden ja muiden analytisten mallien yhteydessä.