Homeomorfismi

Un homeomorfismo tra spazi topologici X e Y è una funzione biunivoca f: X → Y che è continua e la cui inversa f^{-1}: Y → X è continua. Se esiste un homeomorfismo tra due spazi, X e Y sono detti homeomorfi e, dal punto di vista topologico, hanno la stessa struttura. L’idea chiave è l’isomorfismo topologico: una trasformazione che conserva la nozione di apertura, chiusura e limiti senza stravolgere la forma essenziale dello spazio.

Gli homeomorfismi sono l’equivalenza fondamentale in topologia: definiscono una relazione di equivalenza tra spazi, in cui spazi homeomorfi hanno proprietà topologiche condivise. Tra le proprietà preservate vi sono la connettività, la compattezza, la località di connessione e, in generale, la dimensione topologica; spazi homeomorfi hanno la stessa dimensione e lo stesso tipo di struttura topologica.

Esempi comuni includono l’identità su qualsiasi spazio, e funzioni come f(x) = x^3 su R, che è una bijezione continua con inversa continua, g(y) = y^{1/3}. Anche su [0,1], f(t) = t^2 è un homeomorfismo con inversa sqrt(t). Dal punto di vista geometrico, cerchio S^1 e ellisse sono homeomorfi, e una tazza di caffè è spesso usata come esempio intuitivo di homeomorfismo con una ciambella (torus).

Un sottoinsieme utile è il gruppo delle homeomorfismi di X su X, denotato Homeo(X); è un gruppo che riflette le simmetrie topologiche dello spazio. Nota infine che, mentre una homeomorfismo rispetta la topologia, non conserva distanze né angoli né strutture metriche.