Hazardfunktionen

Die Hazardfunktion h(t) beschreibt in der Überlebensanalyse die sofortige Gefährdungsrate eines Ereignisses zum Zeitpunkt t, vorausgesetzt, dass das Ereignis bis t noch nicht eingetreten ist. Sie gibt an, wie wahrscheinlich das Ereignis in einem infinitesimalen Zeitintervall um t herum auftritt.

Für eine stetige Zufallsvariable T mit Dichte f(t) und Überlebensfunktion S(t) = P(T>t) ist die Hazardfunktionen h(t) = f(t)/S(t) = - d/dt log S(t). Im diskreten Zeitbereich wird der Hazardwert zu Zeit t als h(t) = P(T ∈ (t, t+Δt] | T ≥ t) definiert.

Zusammenhang mit anderen Größen: Die kumulative Hazard H(t) = ∫0^t h(u) du, und unter der Annahme der bekannten Beziehung zwischen Hazard und Überleben gilt S(t) = exp(-H(t)).

Beispiele: Die Exponentialverteilung hat eine konstante Hazardfunktion h(t) = λ. Die Weibull-Verteilung hat h(t) = (k/λ) (t/λ)^{k-1}, wobei λ > 0 die Skala und k > 0 die Formparameter sind.

Verwendungen: Hazardfunktionen finden Anwendung in Medizin, Zuverlässigkeits- und Versicherungswissenschaften zur Modellierung von Zeit bis zum Ereignis und zum Vergleich von Risiken zwischen Gruppen. Schätzmethoden umfassen den nichtparametrischen Nelson-Aalen-Schätzer für H(t) sowie das Cox-Proportional-Hazards-Modell zur Analyse von Hazardverhältnissen.