Hauptgeometrien

Hauptgeometrien ist ein Bezeichnung, die in der deutschen mathematischen Literatur gelegentlich verwendet wird, um die grundlegenden Geometrieformen zu bezeichnen, die die Basisbereiche der geometrischen Forschung bilden. Der Begriff ist kein formal festgelegter Fachausdruck im internationalen Sprachgebrauch; er dient eher als Sammelbezeichnung für zentrale Familien geometrischer Strukturen.

Historisch und theoretisch wird mit dem Begriff oft auf die Entwicklung der Geometrie Bezug genommen, die durch das Verständnis von Raum, Metrik und Transformationen geprägt wurde. Im Rahmen von Kantschen und post-kantischen Debatten, in der Erlangen Programmatik von Felix Klein und in den Arbeiten von Gauss, Bolyai und Lobatschevski entwickelte sich eine Klassifikation geometrischer Konzepte nach den zugrunde liegenden Transformationsgruppen und Axiomensystemen. Aus dieser Perspektive gehören zu den Hauptgeometrien typischerweise die euklidische Geometrie, die hyperbolische (nicht-euklidische) Geometrie, die elliptische Geometrie sowie die projektive und die affine Geometrie. Diese Geometrien unterscheiden sich durch Parallelität, Krümmung, Distanz- bzw. Winkeldefinitionen und die Art der zulässigen Transformationen.

In der modernen Mathematik umfassen die Hauptgeometrien zudem differenzielle und algebraische Geometrie, die Geometrie von Mannigfaltigkeiten mit Metrik bzw. Struktur, sowie projektive und algebraische Räume als Rahmen für mehrdimensionale Strukturen. Die Bezeichnungen dienen dann oft als Orientierungspunkte, während heutige Geometrie-Sachverhalte zunehmend interdisziplinär mit Topologie, Analysis und Algebra verknüpft sind.