Halmazok

Halmazok a matematika egyik alapfogalmai. Egy halmaz egy jól definiált tárgyakból álló gyűjtemény, amelyben az elemeket egyértelműen meg lehet nevezni és eldönthető, hogy egy adott tárgy eleme-e vagy sem. A halmazt A betűvel jelöljük, és x ∈ A azt jelenti, hogy x az A eleme. Az üres halmaz olyan halmaz, amelynek nincsenek elemei, és jele lehet Ø vagy {}. Az elemek sorolása a halmazon belül nem tervezett sorrendben történik; ugyanaz az elemeket többféleképpen tartalmazó lista nem külön halmaz.

Alhalmaz fogalma: B ⊆ A, ha minden B eleme A-nak is eleme. Két alapművelet a halmazokon: unió és metszet. Az unió A ∪ B minden elemét tartalmazza, amely vagy A vagy B eleme; a metszet A ∩ B csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. A különbség A \ B azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben nincsenek. Komplementum A^c egy adott univerzális halmazhoz képest értelmezett; minden olyan elem benne van, amely nem része A-nak.

Kardinalitás és típusok: egy halmaz elemszáma a kardinalitás |A|. Véges halmazok esetén ez a szám természetes szám; végtelen halmazokról beszélhetünk, és beszélhetünk számlálhatóságról vagy nem számlálhatóságról. Gyakori példák: a természetes számok N, az egész számok Z, a valós számok R. A kartézi szorzat, azaz A × B olyan párokat tartalmaz, amelyek első eleme A-ból, második eleme B-ből való. A halmazelmélet számos terület alapja, és fontos az axiomatikus rendszerekben, például a Zermelo–Fraenkel halmazelméletben.