számlálhatóságról

A számlálhatóság egy fontos fogalom a matematika, különösen a halmazelmélet és a matematika alapjai területén. Azt a tulajdonságot írja le, hogy egy halmaz elemei mennyire "nagyok" vagy "kicsik" az elemszámukat tekintve.

Egy halmazt akkor nevezünk számlálhatónak, ha elemei bijektív hozzárendelésben állíthatók párhuzamba a természetes számok halmazával (vagyis a pozitív egész számokkal: 1, 2, 3, ...). Ezt gyakran úgy fogalmazzák meg, hogy a halmaz elemei felsorolhatóak egy végtelen sorozatban. A természetes számok halmaza maga is számlálható.

Számos más halmaz is számlálható. Például az egész számok halmaza (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) és a racionális számok halmaza (törtek) is megszámlálható. Ez azt jelenti, hogy bár ezek a halmazok sokkal több elemet tartalmaznak, mint a természetes számok, mégis "ugyanakkora" végtelennek tekinthetők a számlálhatóság szempontjából.

Nem minden végtelen halmaz azonban számlálható. Azokat a halmazokat, amelyek nem számlálhatóak, nem-számlálhatóknak nevezzük. A legismertebb példa a valós számok halmaza. Cantor bizonyítása kimondja, hogy a valós számok "nagyobb" végtelent alkotnak, mint a természetes számok.

A számlálhatóság fogalma alapvető fontosságú a különböző végtelen méretek megkülönböztetésében, és mély következményei vannak a számításelméletre és a matematika más területeire is.