Halfruimte

Halfruimte, in de wiskunde vaak half-space genoemd, is in n-dimensionale ruimte R^n de verzameling punten die aan een lineaire ongelijkheid voldoet. Een veel voorkomende formulering is H = { x ∈ R^n | a · x ≤ b }, waarbij a ∈ R^n en b ∈ R met a ≠ 0. De grens van H is de hypervlak H0 = { x ∈ R^n | a · x = b }.

Een open half-space is { x | a · x < b } en een gesloten half-space is { x | a · x ≤ b }. De grens (hypervlak) heeft als normaalvector a en splitst de ruimte in twee half-ruimten.

Eigenschappen: Een half-space is convex; de convex combinatie van punten in H blijft in H. Als je meerdere half-spaces neemt en hun snijding schrijft men polyhedra.

Voorbeelden: In R^2 is { (x,y) | x ≥ 0 } een half-space met grenslijn x = 0; { (x,y) | x + y ≤ 1 } heeft grenslijn x + y = 1.

Toepassingen: Half-spaces vormen de bouwstenen van lineaire programmering en convexe analyse. Ze spelen een centrale rol bij het begrip scheidingsvlak en hypervlak.