Gruppenstrukturen

Gruppenstrukturen sind eine der zentralen algebraischen Strukturen der Mathematik. Eine Gruppe besteht aus einer Menge G und einer binären Verknüpfung ⋅, die zwei Elemente von G zu einem weiteren Element von G verknüpft. Diese Verknüpfung erfüllt Abschluss, Assoziativität, ein neutrales Element e und jedes Element besitzt ein Inverses. Die Gruppe wird oft durch ein einziges Symbol oder durch die Bezeichnung (G, ⋅) dargestellt.

Typische Beispiele sind der Körper der ganzen Zahlen unter der Addition, der Vektorraum unter der Vektoraddition oder die Gruppe der nicht-null reellen Zahlen unter der Multiplikation. Es gibt unendliche und endliche Gruppen; endliche Gruppen wie zyklische Gruppen oder symmetrische Gruppen S_n spielen eine wichtige Rolle. Weitere wichtige Gruppenklassen sind die allgemeinen linearen Gruppen GL(n, F) über einem Feld F oder Lie-Gruppen, die sowohl eine Gruppenstruktur als auch eine differenzierbare Struktur besitzen.

Wichtige Begriffe der Gruppenstruktur umfassen Untergruppen, die Teilmengen sind, die selbst eine Gruppe bilden, sowie Normalteiler und Quotientengruppen. Zentral sind auch Erzeuger, Mächtigkeit einer Gruppe, Abbildungen (Homomorphismen), Isomorphismen und Automorphismen. Das Cayley-Theorem besagt, dass jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe dargestellt wird. In der endlichen Gruppentheorie spielen die Klassifikation endlicher abelscher Gruppen und die Untersuchung einfacher Gruppen eine zentrale Rolle, während in der allgemeinen Strukturtheorie Generatoren, Relationen und Gruppenpräsentationen von Bedeutung sind.

Anwendungen der Gruppenstrukturen finden sich in Geometrie, Zahlentheorie, Physik und Chemie, sowie in der Darstellungstheorie und in der Computeralgebra. Gruppentheorie dient damit als grundlegendes Werkzeug zur Beschreibung Symmetrien und invarianten Eigenschaften.