Gradientenbetrags

Der Gradientenbetrags eines Skalarfeldes φ: Ω ⊆ R^n → R ist die Norm des Gradienten von φ, also ||∇φ|| = sqrt( ∑_{i=1}^n (∂φ/∂x_i)^2 ). Er fasst die räumliche Änderungsrate des Feldes zu einem einzelnen Maß zusammen.

Der Gradientenbetrags gibt die maximale Änderungsrate des Feldes in einem Punkt an. Der Gradient ∇φ zeigt die Richtung der stärksten Zunahme von φ, und seine Länge entspricht diesem maximalen Anstieg pro Längeneinheit. In der Ebene bedeutet dies: ∥∇φ(x)∥ ist der steilste Anstieg des Funktionswerts von φ am Punkt x.

Beziehung zu Levelmengen: Die Gradientenkraft ∇φ ist senkrecht zu jeder Levelmenge φ(x) = c. Der Einheitsnormalenvektor der Levelmenge ist ∇φ/∥∇φ∥, sofern ∥∇φ∥ ≠ 0. Der Gradientenbetrag selbst liefert Informationen über die lokale Neigung der Ebene der Funktion, insbesondere dort, wo ∇φ verschwindet, ist der Betrag null.

Beispiel: Sei φ(x, y) = x^2 + y^2. Dann ∇φ = (2x, 2y) und ∥∇φ∥ = sqrt((2x)^2 + (2y)^2) = 2√(x^2 + y^2). Am Punkt (0,0) ist ∥∇φ∥ = 0.

Anwendungen: In der Bildverarbeitung wird der Gradientenzustand häufig als Gradientennorm zur Kantenerkennung verwendet. In der Physik dient der Gradient als Feldgröße bei Potentialfeldern; in der Optimierung wird die Norm des Gradienten oft als Stoppkriterium verwendet, etwa wenn ∥∇φ∥ klein wird.

Eigenschaften: Der Gradientenbetrag ist immer nicht negativ; er verschwindet genau dort, wo ∇φ = 0 (kritische Punkte). Unter glatten Bedingungen ist ∥∇φ∥ differenzierbar, solange ∇φ ≠ 0.