Fördelningskvantiler

Fördelningskvantiler är de värden som delar en sannolikhetsfördelning i lika stora delar enligt dess kumulativa fördelningsfunktion. För varje p i intervallet (0,1) finns en p-kvantil q_p som uppfyller F(q_p) = p, där F är fördelningsfunktionen. Om fördelningen är kontinuerlig är q_p oftast entydig. Kvantilerna ger alltså en sammanfattning av hur data är fördelade, utan att anta en specifik modell.

Specifika typer av kvantiler inkluderar kvartiler, som motsvarar p-värdena 0.25, 0.5 och 0.75 (Q1, Q2/medianen, Q3). Deciler och percentiler är andra vanliga delar där p-värdet är 0.1, 0.2, … respektive p uttryckt i procent. Kvantilerna kan beräknas för både diskreta och kontinuerliga fördelningar och är ofta särskilt meningsfulla när data innehåller skevhet eller outliers.

Estimering från data: Vid ett stickprov X1,…,Xn sorterats till X_(1) ≤ … ≤ X_(n) kan en p-kvantil skattas med X_(k) där k ≈ p(n+1). Olika definitioner används beroende på om man vill interpolera mellan ordningstal eller använda alternativa estimatorer. Vid kontinuitet och positiv densitet är q_p = F^{-1}(p) och kvantilen representerar punkt där sannolikheten når p.

Egenskaper och användning: Kvantiler ger robusta och enkla mått på fördelningens plats- och spridningsegenskaper, särskilt när data har skevhet eller outliers. Användningar inkluderar riskmått (till exempel value-at-risk), beskrivningar i ekonomisk statistik, kvalitetskontroll och jämförelser mellan grupper.