Fourieranalyysiä

Fourieranalyysiä on matemaattisten menetelmien kokonaisuus, jolla voidaan hajottaa funktio tai signaali taajuuksien komponentteihin. Tämän analyysin keskeisiä käsitteitä ovat Fourier-sarja, Fourierin muunnos sekä diskreetti Fourier-muunnos, joihin liittyvät laskenta- ja sovellusmenetelmät kuten nopea Fourierin muunnos (FFT).

Fourier-sarja käsittelee jaksollisia funktioita. Jos funktio f on periodinen, se voidaan esittää äärettömänä sarjana sinimuotoisista ja kosinimuotoisista funktioista: f(x) ~ a0/2 + sum_{n=1}^{∞} [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]. Kerroinien a_n ja b_n laskentaan käytetään integraaleja, ja sarjan konvergenssi riippuu tietyistä ehdosta. Parsevalin identiteetti yhdistää funktion energian tai tehon sarjan kertoimien neliöiden summaan.

Fourierin muunnos laajentaa käsitteen ei-jaksoisiin funktioihin tai niihin, jotka on määritelty koko todellisessa tai kompleksisessa linjassa. Määritelmä F(ω) = ∫ f(t) e^{-iωt} dt kuvaa f:n taajuuskomponentit, ja yksikköinvertointi f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^{iωt} dω palauttaa alkuperäisen signaalin.

Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) soveltaa näitä ideita digitaalisiin näytteisiin: X_k = ∑_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2π i k n / N}. Tehokas laskenta tunnetaan FFT- algoritmina, jonka aikakompleksisuus on O(N log N). Tämä mahdollistaa käytännön taajuusanalyysin digitaalisissa signaaleissa, kuten äänessä, kuvissa ja datassa.

Historiaan kuuluu Joseph Fourierin työ lämpöopin ongelmien yhteydessä 1800-luvulla sekä myöhempi kehitys konvergenssi- ja pitkäaikaiskäyttöjen osalta. Fourieranalyysiä sovelletaan laajasti signaalin ja datan epälineaaristen ominaisuuksien tutkimukseen sekä ratkaistaan monimutkaisia ongelmia fysiikassa, insinööritieteissä ja kuvan/tiedon käsittelyssä.