Fouriermuunnos

Fouriermuunnos on matemaattinen operaatio, jolla aikadomainin signaali muunnetaan taajuusdominiin. Sen pääidea on että monimutkainen signaali voidaan esittää summana sinimuotoisia komponentteja, minkä avulla voidaan tarkastella signaalin taajuusdarroja ja spektriä.

Jatkuva Fouriermuunnos määritellään yleisesti F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt, jossa f(t) on aikadomainin signaali ja ω on kulmataajuus (taajuus). Inverse Fouriermuunnos palauttaa signaalin: f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Eri konventiot käyttävät hieman erilaista normalisointia, mutta perusidea pysyy samana: transformaatio siirtää signaalin taajuusavaruuteen ja palautus tuo sen takaisin.

Diskreetti Fouriermuunnos (DFT) käsittelee näytteistettyjä signaaleja. Jos näytteet ovat f[n] (n = 0,...,N−1), DFT antaa F[k] = ∑_{n=0}^{N−1} f[n] e^{-i 2π k n / N}, ja käänteinen DFT palauttaa f[n]. Suurissa datasarjoissa DFT:n tehokas toteutus saavutetaan Fast Fourier Transform (FFT) -algoritmeilla, jotka laskevat muunnokset nopeasti.

Ominaisuuksiin kuuluu lineaarisuus, aikaviiveen ja taajuusmuutoksen hallinta sekä konvoluutioteoreema: Fourier{f * g} = F · G. Kannatetuilla tuloksilla on tärkeä rooli energian suojelussa (Parsevalin lause), spektrianalyysissä, signaalin suodattamisessa ja erilaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa.

Historia: Fouriermuunnoksen taustalla on Jean-Baptiste Joseph Fourier, joka kehitti hajotelman lämpöjakauman ymmärtämiseksi 1800-luvulla. Sen myöhempi kehitys johti jatkuvan ja diskreetin muunnoksen käyttöönottoon monilla tieteellistä sekä teknistä sovelluksia varten.