Flödesekvivalenter

Flödesekvivalenter är ett begrepp inom topologisk dynamik och symbolisk dynamik som avser att två flöden eller deras suspensionsflöden är ekvivalenta under tidomparametrering och en hemmaomorfism mellan deras rum. Begreppet används för att studera när olika dynamiska system har samma grundläggande struktur när tidsparametringen tillåts variera längs varje bana.

Definitionen i generell form: låt φ_t: X → X och ψ_t: Y → Y vara flöden (åtgärder av R på rum X respektive Y). De sägs vara flödesekvivalenta om det finns en homeomorfism h: X → Y och en kontinuerlig funktion τ: X × R → R med τ(x,0) = 0 och för varje x är t ↦ τ(x,t) strikt växande, sådan att h(φ_t(x)) = ψ_{τ(x,t)}(h(x)) för alla x och t. Dessutom uppfylls oftast cocycle-liknande identiteter som τ(x,t+s) = τ(x,t) + τ(φ_t(x), s), som garanterar att tidsomparametreringen är kompatibel med flödena.

I symbolisk dynamik används uttrycket särskilt för suspensionsflöden: två delskift X och Y är flödesekvivalenta om deras suspensionsflöden SX och SY är conjugate. Detta möjliggör klassificering av flöden genom enkla operationer som konjugacy, delning och sammanslagning av tillstånd.

Egenskaperna innefattar att flödesekvivalens bevarar orbitstrukturen och tidsriktningen längs varje bana, men inte nödvändigtvis hastigheten längs banan. Flödesekvivalens är starkare än orbit-ekvivalens och används bland annat för att förstå likheter mellan olika dynamiska system och deras suspensionsflöden. Begreppet introducerades i arbeten av Parry och Sullivan inom symbolisk dynamik på 1970-talet.