Flächennormale

Flächennormale sind Vektoren, die einer Fläche oder einer Flächenaffirmation senkrecht stehen. Sie geben die Orientierung der Fläche an und sind wesentlich für Berechnungen, bei denen die Richtung der Oberfläche eine Rolle spielt, zum Beispiel beim Beleuchten, bei der Sichtbarkeitsbestimmung oder beim Flächenvergleich in Geometrie und Numerik.

Für eine dreieckige Fläche mit Eckpunkten A, B und C ergibt sich die Flächennormale durch das Kreuzprodukt der Kantenvektoren: n = (B − A) × (C − A). Die norma­le Größe ist proportional zur Fläche des Dreiecks, und die Richtung wird durch die Reihenfolge der Eckpunkte bestimmt (Drehrichtung gemäß Rechtsregel). Um eine einheitliche Normalenrichtung zu erhalten, wird n durch seine Länge |n| geteilt: n̂ = n / |n|.

Für allgemeine Polygone (mit n Ecken) lässt sich eine Flächennormale durch Summation der Kreuzprodukte der aufeinanderfolgenden Eckpunkte berechnen: N = Σ vi × vi+1, wobei vi+1 zyklisch ist (vi+1 mit v0 nach vn−1). Eine robuste Alternative für nicht-planare oder komplizierte Polygonen ist Newell’s Methode, die aus den Koordinaten der Eckpunkte eine Normalenkomponente berechnet und danach normalisiert.

Eigenschaften: Die Normale ist senkrecht zur Polygonfläche, die Richtung hängt von der Vertexordnung ab; bei Degeneration (z. B. kollabierte Fläche) geht |N| gegen Null. In glatten Flächen entspricht die Normale dem Normalenvektor der Tangentialebene an einem Punkt, oft durch Grenzwert aus Partialableitungen bestimmt.

Anwendungen umfassen Shading und Beleuchtung in der Computergrafik, Flächenorientierung und Back-Face-Culling, Flächendatentransformationen sowie in der Finite-Elemente- und Strömungsberechnung. Per-Vertex-Normale können aus benachbarten Flächen gemittelt werden, um glatte Shading-Effekte zu erzeugen.