Faktorisasi

Faktorisasi adalah proses membagi suatu objek menjadi faktor-faktornya, yaitu unsur-unsur yang jika dikalikan menghasilkan objek tersebut. Dalam matematika, istilah ini dipakai untuk menyatakan pemecahan objek menjadi produk faktor yang lebih sederhana. Bentuk faktorisasi bervariasi tergantung pada konteksnya, seperti faktorisasi bilangan bulat, polinomial, atau matriks, serta tujuan analisisnya.

Faktorisasi bilangan bulat adalah upaya membongkar bilangan menjadi hasil kali bilangan prima. Menurut Teorema Fundamental Arti Bilangan, setiap bilangan bulat lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima secara unik jika urutan faktor diabaikan. Metode praktis meliputi pembagian berturut-turut, sieve of Eratosthenes untuk menemukan bilangan prima, serta algoritma yang lebih canggih seperti Pollard's rho untuk bilangan besar. Faktorisasi ini penting dalam kriptografi dan teori bilangan.

Faktorisasi polinomial adalah proses menuliskan polinomial sebagai hasil kali polinomial yang lebih sederhana. Polinomial yang tidak bisa difaktorkan lebih lanjut disebut irreducible. Contoh sederhana: x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Faktor-faktor polinomial dapat ditemukan melalui prinsip seperti teorema akar rasional, pembagian polinomial, atau teknik faktorisasi khusus tergantung pada bidang koefisiennya.

Faktorisasi matriks adalah dekomposisi suatu matriks menjadi hasil kali matriks-matriks lain dengan ukuran yang lebih sederhana. Klasik termasuk faktorisasi LU (L kali U), QR (Q kali R), maupun dekomposisi nilai singular (SVD). Faktorisasi matriks digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, analisis eigen, pemrosesan sinyal, dan perhitungan numerik lainnya.

Secara luas, faktorisasi memainkan peran penting di matematika, ilmu komputer, dan kriptografi. Meskipun membantu pemahaman struktur objek, beberapa bentuk faktorisasi, terutama bilangan bulat yang besar, dapat sangat menantang secara komputasional dan menjadi dasar keamanan sistem enkripsi modern.