Erweiterungskörper

Eine Erweiterungskörper ist ein Paar von Körpern K und L, wobei K ein Unterkörper von L ist. Man schreibt K ⊆ L und spricht von einer Erweiterung des Körpers K durch L, oder von der Erweiterung L/K. Der Erweiterungsgrad [L:K] ist die Dimension von L als Vektorraum über K. Erweiterungen können algebraisch oder transzendent sein; eine Erweiterung ist algebraisch, wenn jedes Element von L als Wurzel eines Polynoms mit Koeffizienten in K liegt. Andernfalls ist sie transzendental. Außerdem unterscheidet man endliche Erweiterungen (endlicher Grad) von unendlichen.

Eine Erweiterung ist einfach, wenn L durch ein einziges Element α ∈ L erzeugt wird, also L = K(α). Viele endliche Erweiterungen sind einfach; in separablen endlichen Erweiterungen existiert oft ein solches Element (Primitivelementensatz).

Normalität und Galois-Eigenschaften: L/K ist normal, wenn jedes irreduzible Polynom in K[x], das in L eine Wurzel hat, in L vollständig zerfällt. Ist L zusätzlich separabel über K, nennt man L/K eine Galois-Erweiterung. Das Grundlemma der Theorie der Galois-Gruppe besagt, dass die Gruppe Gal(L/K) die K-Automorphismen von L umfasst und eine zentrale Rolle spielt; zwischen K‑Zwischenkörpern und Untergruppen von Gal(L/K) besteht eine enge Verbindung.

Beispiele: Q ⊆ Q(√2) ist eine endliche, einfache und Galois-Erweiterung. F_p ⊆ F_{p^n} ist eine endliche, normale und separable Erweiterung; ihr Galois-Grupp ist zyklisch und wird durch die Frobenius-Abbildung x → x^p erzeugt.

In der Charakteristik p können rein inseparable Erweiterungen auftreten. Jede Erweiterung lässt sich durch weitere Ergänzungen in algebraische und/oder algebraisch abgeschlossene Strukturen überführen; der Turm-Satz [L:K] = [L:M][M:K] gilt für K ⊆ M ⊆ L.