Ekspansjonsområde

Ekspansjonsområde er et begrep som brukes i matematikk og anvendelser for å beskrive området der en ekspansjon av en funksjon er gyldig. Dette kan være en seriell ekspansjon (Taylor- eller Laurent-serie) eller en asymptotisk ekspansjon i en liten parameter. Ekspansjonsområdet angir hvor godt en slik representasjon gir et korrekt eller tilnærmet uttrykk for funksjonen.

I kompleks analyse beskriver ekspansjonsområdet regionen der Taylor- eller Laurent-serien konvergerer. For en funksjon som er analytisk i et område og som er utvidbar rundt et punkt z0, konvergerer Taylor-serien i en åpen ball rundt z0 inntil grensen til analytisiteten. Radiusen R er avstanden fra z0 til nærmeste singularitet. Hvis funksjonen er hele, som eksponentialen, har ekspansjonsområdet uendelig rekkevidde.

Når det gjelder Laurent-serier, kan ekspansjonsområdet være en annulus mellom en indre og en ytre radius, definert av plasseringene av isolerte singulariteter i området. Områdets grenser bestemmer hvor serien gir en riktig representasjon av funksjonen og hvor den ikke lenger er gyldig.

I realanalyse og ved bruk av asymptotiske ekspansjoner er ekspansjonsområdet ofte avgrenset av størrelsen på en liten parameter eller av regionen der antatte antakelser holder. Det er derfor viktig å kjenne ekspansjonsområdet når man bruker en tilnærming i beregninger og feilanalyse.

Et klassisk eksempel er ekspansjonen av e^z rundt z0 = 0: e^z = Σ z^n / n!, som konvergerer for alle z i det komplekse planet. Dette betegnes som et ekspansjonsområde med uendelig radius. I andre tilfeller er området begrenset av nærvær av singulariteter.

Ekspansjonsområde er derfor et sentralt begrep i vurdering av gyldigheten og nøyaktigheten til serier og andre typer ekspansjoner i både teoretiske og anvendte sammenhenger.