Einzelpunkte

Einzelpunkte, oder isolierte Punkte, spielen in der Topologie eine zentrale Rolle bei der Beschreibung der Dichte und der Struktur von Teilmengen. Ein Punkt x einer Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt isoliert in A, wenn es eine offene Menge U in X gibt mit U ∩ A = {x}. Äquivalent gilt, dass {x} offen in der Untertopologie von A ist. In der Praxis betrachtet man isolierte Punkte meist innerhalb einer Untermenge A von X; x in A ist isoliert, wenn eine Nachbarschaft U von x existiert, die keine weiteren Punkte von A enthält.

In metrischen Räumen gilt dies noch anschaulicher: x ∈ A ist isoliert in A, wenn es r > 0 gibt, so dass die offene Kugel B(x, r) ∩ A = {x} ist. Das macht die Isoliertheit oft direkt prüfbar.

Beziehung zu Akkumulationspunkten: Ein Punkt x ∈ A ist isoliert genau dann, wenn er kein Akkumulationspunkt von A ist. Die Menge aller Akkumulationspunkte wird Ableitung A′ genannt. Es gilt A = Iso(A) ∪ A′, wobei Iso(A) die isolierten Punkte von A umfasst und A′ die nicht isolierten Punkte enthält.

Beispiele: In den reellen Zahlen seien A = {1/n : n ∈ N} ∪ {0}. Die Punkte 1/n (für n ≥ 1) sind isoliert, während 0 ein Akkumulationspunkt ist. Die Menge N ⊆ R besteht vollständig aus isolierten Punkten; hier ist A′ leer. Ein diskretes Teilmengenbild bedeutet, dass jeder Punkt isoliert ist.

Eigenschaften und Bedeutung: Eine Teilmenge heißt diskret in X, wenn jeder ihrer Punkte isoliert ist. Eine Menge ohne isolierte Punkte wird oft als perfekt bezeichnet, insbesondere wenn sie abgeschlossen ist und jeder Punkt ein Akkumulationspunkt ist. Isolierte Punkte helfen bei der Analyse von Abgeschlossenheit, Dichte und der Struktur von Mengen in topologischen Räumen.