Einzelbedeckungen

Einzelbedeckungen bezeichnet in der Mathematik eine Bedeckung eines Universums durch eine Familie von Teilmengen, bei der jede Teilmenge genau ein Element des Universums enthält. Der Begriff wird vor allem in der Mengenlehre und in der Kombinatorik verwendet. Eine typische Singleton-Bedeckung eines endlichen Mengenkosmos X ist die Familie aller Einzelmengen {x} für jedes x in X, also { {x} | x ∈ X }. Diese Familie Bedeckt X, weil die Vereinigung aller Einzelmengen gleich X ist.

Formalität: Sei X eine endliche Menge. Eine Menge F von Teilmengen von X ist eine Singleton-Bedeckung, wenn jedes Element von F eine einzige Komponente enthält (|A| = 1 für alle A in F) und die Vereinigung aller A in F X ergibt. Die kanonische singleton-Bedeckung ist F = { {x} : x ∈ X }. Sie existiert immer und hat die Größe |X|. Beliebig viele weitere Singleton-Elemente können zusätzlich eingefügt werden, wodurch die Größe der Bedeckung steigt, aber eine minimale Singleton-Bedeckung hat genau die Größe |X|.

Eigenschaften und Zusammenhänge: Singleton-Bedeckungen sind eine extrem einfache Form von Bedeckungen. Sie liefern eine obere Grenze bzw. eine Untergrenze für typische Set-Cover-Probleme, da jede reale Bedeckung, die mehrere Elemente pro Teilmenge zulässt, im Allgemeinen kleiner oder gleich der Anzahl der Elemente von X sein kann. In der Praxis dient die Singleton-Bedeckung oft als theoretisches Extrembeispiel oder als Zertifikat einer trivially vollständigen Abdeckung.

In der Topologie spielen Singleton-Bedeckungen eine Rolle in diskreten Räumen, wo jeder Punkt eine offene Singleton enthält; dort entsprechen Singleton-Bedeckungen einer besonders einfachen Form von Überdeckungen.