Eigenvärden

Egenvärde är i linjär algebra ett skalärt värde λ. Det finns en icke-noll vektor v kallad egenvektor så att Av = λv, där A är en kvadratisk matris eller en linjär avbildning. Paren (λ, v) kallas eigenvärden och eigenvektorer.

För en kvadratisk matris A över ett fält är eigenvärdena rötter till det karaktäristiska polynomet det(A − λI) = 0. Reala matriser kan ha reala eller komplexa eigenvärden; komplexa värden kommer alltid i konjugatpar. Den algebraiska multipliciteten är antalet gånger λ uppträder som rot, medan den geometriska multipliciteten är dimensionen av lösningsutrymmet till (A − λI)v = 0. Om λ och μ är olika eigenvärden är deras eigenvektorer linjärt oberoende.

Speciella fall och struktur: För symmetriska reella matriser är alla eigenvärden reala och eigenvektorerna som hör till olika eigenvärden är ortogonala. Enligt spektralteorin kan en sådan matris skrivas som A = Q Λ Q^T, där Q är en ortogonal matris av eigenvektorer och Λ är en diagonalmatris av eigenvärden.

Beräkning och tillämpningar: Eigenvärden fås vanligtvis genom att lösa det(A − λI) = 0 eller numeriskt via metoder som QR-algoritmen. För stora matriser används ofta iterativa metoder som power iteration för dominerande värden.

Användningar finns inom stabilitetsanalys av differentialekvationer, vibrationsanalys, Markov-kedjor, bild- och ljudbehandling samt dataanalys, exempelvis huvudkomponentanalys som bygger på covariance-matrisens eigenvärden och eigenvektorer.