EigenvectorZentralität

EigenvectorZentralität ist ein Maß für die zentrale Stellung eines Knotens in einem Netzwerk. Es berücksichtigt nicht nur die Anzahl der Verbindungen eines Knotens, sondern auch die Zentralität seiner Nachbarn; Knoten, die mit anderen zentralen Knoten verbunden sind, erhalten höhere Werte.

Mathematisch wird das Maß aus der Adjazenzmatrix A des Netzwerks abgeleitet. Ein zentraler Vektor x erfüllt Ax = λx, wobei λ der größte Eigenwert von A ist. Die Komponenten x_i geben die zentrale Bedeutung von Knoten i an; größerer Wert bedeutet mehr Einfluss. Häufig wird x normiert, z. B. so, dass Summe_i x_i = 1 oder dass ||x||_2 = 1 gilt.

Für ungerichtete Graphen ist A symmetrisch, und der größte Eigenwert sowie der zugehörige Eigenvektor lassen sich real bestimmen. Der Perron-Frobenius-Satz sorgt dafür, dass bei zusammenhängenden Graphen der Haupt-Eigenvektor strikt positiv ist. In gerichteten Graphen kann man statt des rechten Eigenvektors auch den linken Eigenvektor von A verwenden, um unterschiedliche Zentralitätsdimensionen abzubilden.

Die Berechnung erfolgt typischerweise mittels der Power-Iteration, insbesondere bei großen, spärlichen Netzen, da sie nur wiederholte Matrix-Vektor-Produkte benötigt. Die zentrale Stellung ergibt sich dadurch, dass Knoten mit vielen, gut vernetzten Nachbarn höhere Werte erhalten.

Eigenschaft und Anwendungen: EigenvectorZentralität wird in sozialen, wirtschaftlichen und technischen Netzen verwendet, etwa zur Rangordnung von Influencern oder Webseiten. Grenzen sind Sensitivität gegenüber Netzänderungen, Probleme bei stark fragmentierten Graphen und die Abhängigkeit von der gewählten Adjazenzstruktur.

Historischer Kontext: Das Maß wurde unter anderem von Bonacich eingeführt (1987) und ist seitdem ein zentrales Werkzeug in der Netzwerkforschung.