Differenssianalyysi

Differenssianalyysi on matematiikan osa-alue, joka tutkii funktioiden muutosta ja muuttujien välistä riippuvuutta. Keskeinen käsite on derivaatta, jolla mitataan funktion arvojen muutosta pienellä syötteen muutoksella. Useamman muuttujan tapauksessa puhutaan osittaisderivaattoista, gradientista sekä Jacobian- ja Hessian-matriiseista. Differenssianalyysiin liittyy myös differentiaalimuotoja ja manifold-ajattelua, joita tarvitaan monimutkaisempien karttojen ja käyrien tarkastelussa.

Alue voidaan nähdä sekä teoreettisena että sovelluksellisena. Päähaaroja ovat differentiaalilaskenta ja differentiaaligeometria. Differentiaalilaskenta käsittelee derivaattoja, osittaisderivaattoja, gradientteja sekä Jacobian- ja Hessian-matriiseja; differa beinialgeometria tarkastelee karttojen ja funktioiden käyttäytymistä käyrien, pintojen ja manifoldien tasoilla.

Differenssianalyysiä käytetään laajasti: sen avulla mallinnetaan ja ratkaistaan differentiaaliyhtälöitä, joita käytetään systeemien ajallisen kehityksen kuvaamiseen, sekä suoritetaan optimointia, jossa etsitään parhaita arvoja muuttujille. Esimerkki: ratkaistaan ensimmäisen kertaluvun yhtälö dy/dx = y, jonka ratkaisu on y(x) = C e^x.

Sovelluskohteita löytyy fysiikasta, tekniikasta, taloustieteestä ja biologiasta; sekä teoreettinen tutkimus että käytännön laskenta nojaavat differenssianalyysiin. Historiallisesti ala kehittyi osana laskennan ja geometrian kehitystä, ja se on edelleen keskeinen osa modernia analyysiä.